罗素悖论与第三次数学危机
1、00毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比。
2、 在19世纪下半叶，经历2次数学危机后，严格建立了实数理论和极限理论的。法国大数学家庞加莱在1900年巴黎召开的国际数学家大会宣称：“数学的严格性看来直到今天才可以说是严格实现了。”
3、据康托尔集合理论,任何性质都可以决定一个集合,这样所有的集合又可以组成一个集合,即“所有集合的集合”(大全集)。(罗素悖论与第三次数学危机)。
4、18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
5、有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
6、他说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的流数实际上是0/0,是“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”，这是因为错误互相抵偿的缘故。(罗素悖论与第三次数学危机)。
7、第一次是关于无理数，这次危机直接就把毕达哥拉斯的数学王朝推翻，第二次数学危机是关于微积分，是常识跟数学之间契合的问题；第三次数学危机是关于集合论，发生在二十世纪初，这次危机涉及到了数学中基础的大厦，差点把整个数学理论推翻重来。
8、1917 年至 1920 年，布劳威尔开始进一步发展他的直觉主义观点，包括沿着直觉主义思路发展集合论。
9、00十七世纪末，牛顿和莱布尼兹创立的微积分理论在实践中取得了成第二次数学危机功的应用，大部分数学家对于这一理论的可靠性深信不移。
10、00公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯(470B.C.前后)发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。
11、对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“大的集合”，当然也没有“大的基数”。
12、19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
13、希尔伯特是在 23 岁时以一篇关于不变量理论的论文挤身数学界的，在这篇论文中，它使用了非构造性的证明，而他的证明正是依赖于对无穷的对象使用排中律。
14、后来罗素又以通俗的形式给出这个悖论，即“理发师悖论”：某乡村理发师宣布了一条原则，他给村里所有不给自己理发的人理发。那么试问，理发师是否给自己理发？如果他给自己理发，则不符合自己提出的原则，因此，不应该给自己理发；如果他不给自己理发，那么根据他的原则，又应该给自己理发。
15、第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。早使微积分严谨化的拉格朗日。为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题。所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。
16、(2)陆新生.数学史上的三次危机(J).科学教育与博物馆，2020(1/2)：65-
17、众所周知，集合有三要素：“确定性，无序性，互异性”，这么简洁美丽的体系即将迎来前所未有的挑战！
18、罗素悖论的出现赫然指出康托尔集合论的缺漏之处，建立在康托尔集合论之上的数学大厦轰然崩塌，引发了第三次数学危机.
19、于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然***，形成了数学史上的第三次危机。
20、有数学家反对对无穷集合使用排中律,一场持久战1908 年，布劳威尔写出了一篇名为《关于逻辑原理的不可靠性》，这篇论文认为运用排中律的数学证明是不合理的。
21、数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
22、00美国杰出数学家哥德尔于本世纪30年代提出了不完全性定理。
23、第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的，以后还有多人进行了加工。但是，此程序曾受到批评，因为它只是避开了某些悖论，而未能说明这些悖论；此外，它不能将来不出现别种悖论。
24、但是來到當代後被成功復活，不過用途比較小眾，而且其邏輯基礎複雜。
25、有一个说法，希帕索斯不仅提出这个问题，同时也给出过证明，彻彻底底推翻了比达格拉斯的理论，所以希帕索斯才惨遭毒手。至于是不是这样的就不得而知了。
26、第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。19世纪后半叶，作为分析严格化的高成就—康托尔的集合论成为现代数学的基础，不仅建立起来，而且被越来越多的数学家所接受、所应用。法国大数学家庞加莱骄傲地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。现在我们可以说，完全的严格性已经达到了。”此时，数学王国里春光明媚，阳光和煦，一派太平景象。2起源
