罗素悖论内容
1、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了 。就在这时 ，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
2、在高阶认知实验中，观测干扰度来自几个方面。第因为被试要阅读理解一个语言任务，其反应时间显著加长，以分钟/秒计，微秒可以忽略不计。在此相对长时段内，过程性噪音机会明显增加，如注意力分散等。第在40~60分钟实验时间内，每个实验任务的费时显著加长，则实验任务数量显著减少。也就是说，有限的观测结果连不成一条近似学习曲线。第关键的，语言推理任务的解决应该有一个为理论模型所预测的心智表达和心智过程，叫做“任务结构”。比之低阶认知，高阶认知观测的任务结构要复杂得多，称为“复杂/慢”类心智任务。我们所能直接观测到的客观数据是正确率或出错率，以及所费时间。但我们无法直接观测通过复杂任务结构的心智过程。也就是说，我们可以观测被试做对了或做错了，但难以观测被试是怎么做的。这是高干扰度的主要来源。(罗素悖论内容)。
3、杨英锐，美国伦斯勒理工学院认知科学系终身教授，心智动力学与经济动力学及其高阶规范场论模型的创立者，主要从事心理学、经济学和认知科学研究。Email:yangyri@rpi.edu
4、1874年，德国康托在《克列尔杂志》上发表了《论所有实代数数集合的一个性质》的论文，它标志着集合论的诞生。集合论的创立，颠倒了许多前人的想法，与传统数学观念相冲突，因此一开始就遭到反对者的指责。但在1897年第一次国际数学家大会在瑞士苏黎世召开时，德国数学家赫尔维茨(1859～1919)和法国数学家阿达马(1865～1963)就充分肯定了康托的理论在分析学中的重要地位，终导致集合论被公认。此外，“皮亚诺算术公理系统”的出现，自然数理论被归结为一组不加定义的概念和几条有关的公理，算术理论公理化了。这样，数学的基础就放在集合论之上了。
5、自2002年，普林斯顿心理学家和经济学家卡内曼(DanielKahneman)被授予诺贝尔经济学奖以来，行为主义经济学受到越来越多的关注，但却始终无法与主流经济学并驾齐驱①。究其原因，在于前者长于实验，而后者长于理论。目前的行为主义经济学研究，概括地说，是发现一个现象接一个现象，并命名一个效应又一个效应。这是典型的实验心理学研究方法。当前行为主义经济学的命门在于理论体系的缺失，没有可以比肩主流经济学的结构性数学模型方法。这个缺失不是用任何其他理由所能绕行过去的。可以这样说，正是由于这个弱点，行为主义经济学在理论上从始至今依附于主流经济学。就理论源头而言，有限理性的语言长期依附于经济理性的概念。事实上，行为主义经济学所发现的各种偏见、误区或谋略，都是相对于经济理性而言。不难想象，这样的行为主义经济学理论路径肯定前途堪忧。本文提出的普通理性论，解释了为什么普通人把握着市场的走向和经济的命运。普通人，是市场的主体。经济动力学有一个基本理论假设，即认为经济是人类文明大规模的社会实验。市场参与者不是实验室中的被试，而是市场上的主动观测者。
6、这个伪悖论，实际再次反应出从数学内部，是很难证明2+2=4 之类的基本东西。显然，类
7、假设你路过一家理发店，标语上写着：“你给自己刮脸么？如果不是，请允许小店帮您刮脸！我只帮城里有所不自己刮脸的人刮脸，其他人一概不刮。”这个简单的介绍足够让你走进这家理发店了，但是接下来你发现了问题——理发师给自己刮脸么？如果他给自己刮脸，那么他就违反了只帮不自己刮脸的人刮脸的承诺，如果他不给自己刮脸，那么他必须给自己刮脸，因为他的承诺说他只帮不自己刮脸的人刮脸。两种假设都导致这句话说不通。
8、理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
9、(2)陈波．悖论研究［M］．北京:北京大学出版社，20(罗素悖论内容)。
10、加缪是一个坚决的反抗者，相信“我反抗故我存在”。在他的哲学随笔《反抗者》里，他说“反抗不创造任何东西，表面上看来是否定之物，其实它表现了人身上始终应该捍卫的东西，因而十足是肯定之物。”他还说：“呼吸，就是反抗，就意味着一种价值。”
11、悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。
12、可能和欲望是相互制约的。想买航天飞机，您想当亿万富翁，您想要什么有什么，这些有多大可能呢？一般来说，在决策论中讲可能，或大或小，可能性是存在的。或大或小是多大多小，似乎自然可以用其概率来解释。但是用概率语言要小心，因为这里的可能性是对一个具体给定的后果而言的。在标准概率论中，一个单独的独立事件没有概率可言，虽然在心理学主观概率理论中有相应的说法。同时，一个选择可以产生若干个后果，怎么可以单独确定其中某一个后果的概率呢。决策论说，在某选择所产生的可能后果上，决策者会决定一个策略，即为每个后果加权，也就是形成一个权重分布。如果这个选项被决策者选择了，它就成为现实，其概率为所以，在决策者策略将权重策略形成概率分布时，所有概率加起来必须等于这叫“归一化处理”。有了归一化的概率分布，就可以为每个可能的后果配上相应的概率了。可能性的决策论意义是分布归一化后的配给概率。
13、看到这张图片你有没有觉得似曾相识呢？没错，它来自人教版必修五B版数列这一章中的阅读与欣赏，这个就是著名的芝诺悖论。
14、第货币钱性论。首先，做出货币币性与货币钱性的区别。经济动力学使用规范场论语言刻画其对称性要求。规范场论是量子场论的内容，而量子场论由量子力学与狭义相对论整合而成。所以，要理解经济动力学，首先要把握其量子化方法和狭义相对论处理。其量子化方法将在后面市场动力学部分一并介绍。为满足其狭义相对论性要求，我们首先讨论什么是货币钱性，并论证它满足类光性条件，自旋为即将货币钱性处理为一个不变量。接着，在狭义相对论框架下，刻画市场价格的全局锥化模型与个体固有价格的局域动量锥化模型。
15、鳄鱼“要做什么”是一种心理状态，鳄鱼“把孩子还给父亲”是一种行为，二者在时间上是前后衔接的两个阶段。同样，这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”是鳄鱼心理状态，后来“鳄鱼将儿子还给他”是鳄鱼行为。
16、注意，过日子和空决策不是一回事，但在行为上是难以分辨的。情形某君夏天带孩子上街，天太热，装作买东西躲进商场去蹭空调，凉快一会儿又出来了。情形另有某顾客本意是进商场买东西，后来嫌贵又走了。从观测的角度说，这两种情形一般难以分辨。这是广义相对论中“等效原理”的市场版。
17、②YangYingrui,“OrdinaryRationalityandHiggsMechanism”,MPRAPaperNo.109912,2022-09-10,
18、诺贝尔经济学奖多数青睐于传统主流经济学家，但迄今已有三次颁予行为主义经济学家，他们是西蒙(1978)、卡尼曼等(2002)和塞勒(2017)。有限理性是行为主义经济学的思想旗帜；说其思想旗帜而不说其理论，是因为行为主义经济学研究多以经验研究为主，其文献多以实验报告为要，但其基本理论薄弱。
19、量子力学处于高干扰度区。量子力学实验所观测的基本粒子及其运动状态，很多难以直接观测，如无质量玻色子，如被“禁闭”的费米子夸克。同时，基本粒子的运行接近或等于光速，基本粒子个儿又小(可以小到只是些剩余能量)，跑得又快，使得在观测中不可避免地存在高度干扰。这类物理观测，可称为“小/快”观测。
20、B.Russell,Autobiography(Routledge,1998).
21、由此可见，“第三次数学危机”是在人们误以为数学基础已经牢固，因而盲目乐观，但接着就遇到无法克服的“悖论”时思想准备不足而必然产生的。
22、请观察图2中的正交框架，物理竖轴顶端标示量子力学；在过原点底端标示牛顿力学。再在心智横轴右端标示高阶认知，左端标示低阶认知。另外，在过原点的经济斜轴上，右上端标示前向观测，左下端标示后向观测。这样，如图2所示，量子力学、高阶认知和经济前向观测集中在了第一象限，而牛顿力学、低阶认知和经济后向观测集中在第三象限。第一象限和第三象限对角相倚，这叫做“对角线法则”。这个法则有二层意思。
23、(2)主观确定性原理。这是维持根斯坦首先提出的概念。维氏是20世纪大哲学家，以语言哲学和分析哲学著名。他认为社会交流可以被看成语言博弈，言者有所说，不同听者的理解会有歧义，言来语去，猜来问去，如同博弈。不过，维氏论证说，很难找到一组规则来定义这种语言博弈，因为处处充斥着不确定性。所以，世称维氏哲学为怀疑论。
24、(8)哥德尔去世后，他的遗物中有一套标有日期1928年7月21日的《数学原理》——那一年哥德尔22岁。不过有趣的是，哥德尔并不在罗素所说的读过《数学原理》后面部分的六人之列(因罗素提到那六人三人为波兰人，三人为得克萨斯人，而哥德尔是奥地利人，到美国后也不曾在得克萨斯定居过)，不知是罗素的遗漏、有意忽略、还是确实认为哥德尔没读过《数学原理》的后面部分。
25、罗素悖论使本已接近完成的《数学的原理》的出版推迟了两年左右，但即便如此也未能解决罗素悖论。这一点让罗素深感沮丧，在给一位朋友的信中称《数学的原理》为“一本愚蠢的书”(afoolishbook)，甚至表示一想到为这样一本书花费了那么多时间就感到羞愧。不过那时候，真正的“大书”《数学原理》的撰写早已展开(1900年底左右就启动了)，彻底解决罗素悖论的任务被顺理成章地转移到了《数学原理》上。
26、决策意味着釆取行动(takinganaction)。普通人日常过日子多半只是按习惯行动(acting)，该干什么干什么，该刷牙刷牙，该洗脸洗脸，该吃饭吃饭，该上班工作上班工作，该买菜买菜，该领工资领工资，该高兴高兴，该有情绪有情绪，见人该打招呼打招呼，该坐地铁坐地铁，该买票买票，等等，这是人们日常生活的绝大部分。这些都是习惯性例行行动，而不是“釆取”的行动。普通人过日子，讨厌没事找事，尽量少做决策，因为决策是有代价的。普通人平常过日子，不喜欢旁边有个一天到晚总催你釆取行动的人，让人紧张烦躁。主观确定性原理又称“过日子原理”。
27、常言道：曲高和寡。推理的极度曲折和冗长使《数学原理》的读者群体小得可怜，这一点让罗素和怀特海深感失望。距离《数学原理》的出版将近半个世纪的1959年，罗素在《我的哲学的发展》(MyPhilosophicalDevelopment)一书中表示读过《数学原理》后面部分的据他所知只有六人。这简直跟传说中的只有少数人懂得相对论有一拼了——而且关于相对论的传说很可能是虚的，读过《数学原理》后半部分的人却恐怕真的很少。事实上，罗素在《数学原理》发表多年之后，还不止一次遇到有人试图重复解决早已被《数学原理》解决掉的问题。
28、此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。
29、在物理学中，观测者作为观测主体所观测的是外在的物理世界。这里，“外在”一词提示出一种对科学观测呼之欲出的方向感。在概念上抽象一下，称之为外向观测。在心理学和认知科学中，观测者所观测的是内在的心智世界，称之为内向观测。在经济学中，实证研究要凭数据说话。在公共领域给出的数据，得自对过去已经发生的经济现象所做的统计分析。在实验室中收集的数据，得自实验过后的统计分析。简言之，各种数据反映的是对历史的观测，称为后向观测。众所周知，经济学家从来不满足只对历史说话，经济学有一种对未来做预测的冲动。将观测的望远镜伸入将来，称为前向观测。
30、祖父悖论的另一个版本是希特勒悖论，或者说是谋杀希特勒悖论，这个想法被许多科幻小说运用，主人公回到了二战前，杀死了希特勒，成功组织了二战的爆发。矛盾之处在于，如果没有发生二战，为什么我们要回到二战前刺杀希特勒，时间旅行本身就消除了旅行的目的，所以时间旅行本身就在质疑自身存在的理由。
31、本书主要供普通高等院校民族预科班和高职高专院校的学生学习使用,也可供相关学生自学使用和教师教学参考使用.
32、这句话是错的如果是事实，那么这句话就是对的，但是它是对的，就与所说的这句话是错的事实(开始设定的)不符。这句话是错的如果是假的，那么这句话就是对的，但这句话如果是对的，那么假设的这句话是错的假的结论就被推翻，也矛盾了。
33、不是所有的数都是平方数，所有数的集合不会超过平方数的集合。
34、罗素年轻时雄心勃勃，二十出头就立下宏愿，要写两个系列的“大书”：一个涵盖所有的科学领域；另一个涵盖所有的社会学领域。他并且畅想：一个系列将从抽象出发，逐渐向应用靠拢，另一个系列则从应用出发，逐渐向抽象靠拢，终交融成一个巨无霸系列。罗素后来确实算得上著作等身，但年轻时的这个宏愿实在是远远超出了任何个人的能力，终其一生也未能实现，而只在某些局部领域中取得过局部成果。如果要在其中找出一个努力得系统的，那恐怕是数学。
35、第因为第一象限可谓观测高干扰度区，而第三象限可谓观测低干扰度区。这里，“观测干扰度”的概念，是由狄拉克提出的：在观测中的干扰度(thedegreeofdisturbance)越高，我所能观测到的世界就越小。在牛顿力学中，观测干扰度低，所以牛顿力学是观测宏观世界的学问。在量子力学中，观测干扰度高，所以量子力学是观测微观世界的学问。过渡于两者间的学问，叫做“介观物理学”。有人说，在对宏观世界的观测中，如宇宙学，也会用到量子物理，那是指对经典宏观世界中的微观现象做观测的学问。
36、普通高等院校创新思维训练教材普通高等院校少数民族预科教材
37、通道经济理性人的英文是单数，特指市场。下节将介绍的有限理性，专门刻画市场参与者，叫作经理人，又称生意人、商人、买卖人、企业家、投资人、金融家，等等。它的英文是“businessmen”,是复数。这个单数对立复数，即“manvs.men”的理论意义非同小可。一般而言，在一个社会科学领域中，如果有一个成熟的理论，这个理论就核心概念一般都可以被拟人化地处理为单数man；而其实践或应用涉及复数实践者，可自然地为复数men所刻画。
38、第由底层往上走一层，就要说一个后果的决策论意义，由其欲望的钱价和其可能的概率相乘而得，叫作“效用”。所以决策论的语义学叫作效用语义学。钱价和概率相乘，是简单的效用函数。效用函数可以做得很复杂，比如在杰佛瑞的参照(referential)决策论中，就要用到条件概率。
39、一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。
40、然而，这些并没能阻止人们的自信。1900年在巴黎召开的第二次国际数学家大会上，法国著名数学家、物理学家庞加莱(1854～1912)就宣称：“现在，我们能说(数学)完全的严格性已经到来了。”接着便是前述“罗素悖论”和“第三次数学危机”的出现。
41、②YangYingrui,ModernPrinciplesofEconomicMechanics:QualitativeInitiativestowardIntegratingEconomics,CognitiveScience,andTheoreticalPhysics，
42、直到后来发展了数学分布理论，在其中，以原狄拉克函数中的第二公式即积分公式作为出发点，作出本体论承诺；又以原第一公式作为被积函数，称为测试函数，给出认识论路径，要求这个测试函数至少存在一个“支撑点”。这个支撑点，就是被原来量子观测捕捉器捕捉到的激发粒子，高阶认知中一道被正确解决的题，或是被经济前向观测所预测中了的未来经济事件。走过这段路，高干扰度区终于可以合法合规地应用微积分了，为引入更高深的数学工具夯实了基础。
43、所以，以平常心论，遇事麻木，是非理性。遇事有情绪，体现的不仅是基本的理性，还是健康的理性。
44、从看似合理地前提出发，通过看似正确有效的逻辑推导，得到一组自相矛盾的命题。
45、《科学·经济·社会》创办于1983年，系融科学技术与哲学社会科学为一体的综合性学术期刊，于2022年起由季刊变更为双月刊。曾是全国中文核心期刊、中文社会科学引文索引(CSSCI)来源期刊(1998-192003-2009)、CSSCI扩展版来源期刊(2010-2013)，2018年入选中国人文社会科学核心期刊(扩展版)。本刊坚持以马克思主义理论为指导，以研究科学、技术与社会的协调发展为宗旨，突出问题意识，聚焦学科交叉，刊登学术论文、海外译稿、书评札记、学界动态等文稿。
46、合作之初，罗素和怀特海对工作进展有一个很乐观的估计，认为一年左右即可完成，但罗素悖论的出现将这一估计扫进了垃圾箱，《数学原理》的实际耗时约为十年，比当初的预计高了一个数量级。而比耗时增加更受罪的，则是罗素悖论似乎在嘲弄着罗素的直觉和智力。在很长一段时间里，罗素始终觉得罗素悖论是一个“平庸”(trivial)的问题，却偏偏绕不过，也突破不了。这种不得不把精力花在自己认为不值得的地方，且还像掉进了无底洞一样看不到尽头，无疑是很受罪的感觉。
47、所以，水的总量增加，水的总体价值就减少。钻石的情况就不同了，不管地球上到底有多少钻石，市场上的钻石始终是少量，一颗钻石的用途比一杯水大得多得多得多。所以钻石对于人更有价值。钻石的价格远高于水，消费者愿意，商人也乐意，一个愿打一个愿挨。
48、本书主要供普通高等院校少数民族预科班和高职高专院校的学生学习使用,也可供相关学生自学使用和教师教学参考使用.
49、似几个罗素悖论，都暴露出一点，罗素的问题在于用数量去取代事物的质，而对于一个事物，
50、由“悖论”这一“怪圈”引出“危机”，探究克服“危机”完善了三大数学流派，摧毁这些流派的幻想出现哥德尔不完备定理，导致至今尚未完结的探索，这是发生在数学领域里近一个世纪的事。那么，这种“怪圈”仅仅在数学领域内才有吗？
51、经济外部性动力学以理论物理中同位旋动力学为概念化与模型蓝本。市场上商品价格本来是由买卖方两方决定的，如果第三方影响定价，称为经济外部性。例如，通过经济政策调控市场价格即为一种经济外部性。同位旋是指夸克在弱力作用下改变其味荷，将一个下夸克变为上夸克。相应地，经济政策可以将个体市场参与者原来的畏惧冲动转变为成就冲动，这样畏惧冲动与成就冲动形成同位旋空间。市场动力学与经济外部性动力学可以合成一种复合系统，以电弱模型为蓝本，其中要用到两个重要的概念：温伯格角(Weinbergangle)和中性流。弱力的媒介子具有质量，所以弱力是一种短程力；类似地，承载经济外部性的各种“看得见的手”如经济政策都是有代价的(即调控成本)，也是一种短程力。经济外部性动力学与同位旋动力学共享SU(2)规范对称性。两者同为同位旋范畴的对象，以SU(2)对称群为态射。
52、在社会科学的领域中，要应用狭义相对论，就要在其中首先找到一个具有类光性的不变量，这在心智世界中是语言，在政治世界中是权力，在亚经济世界或亚认知世界中是意识，如此等等。如此这般，光子、钱子、语言、权力和意识构成了类光性的五重态。如果说钱是经济生活中的光，是其语言，是其权力，是其意识，人们明白你在说什么。这就是概念化的力量。
53、于是,无论哪种说法都避免不了矛盾.这就是罗素悖论.1919年罗素又把他提出的这一悖论通俗地表述为理发师悖论.罗素悖论即宣告了集合论是有矛盾的,从而引发了数学界的沮丧和激烈争论,被数学史界称为第三次数学危机.罗素悖论的挑战,促使一些数学家、哲学家逐步提出解决第三次数学危机的方案.
54、但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。
55、1897年，25岁的罗素撰写了一本关于几何的书：《论几何的基础》(AnEssayontheFoundationsofGeometry)，随后又开始构思一本有关数学基础的书：《数学的原理》(ThePrinciplesofMathematics)。这本中译名仅一字之差，英文名也有些相近的书是《数学原理》的前身。仿佛在预示《数学原理》将要让罗素受“罪”，《数学的原理》一起头就不顺利，几次努力都止于片断。这一局面直到1900年8月罗素在巴黎国际哲学大会(InternationalCongressofPhilosophy)上遇见意大利数学家皮亚诺(GiuseppePeano)才有了被他称为“智力生活转折点”(aturningpointinmyintellectuallife)的改变(注二)。
56、杉迪是斯特恩的9卷本幽默小说《杉迪传》的主人公，他是一位健谈的故事讲述者。
57、狭义相对论是在闵可夫斯基四维时空中说话。我们从小学就习惯了在三维欧氏空间中思维，一个点由三个变量给定，两点之间的距离是三个平方项之和的开方。前面说到光速，即光的速度，速度公式是距离除以单位时间，等等。这些概念在四维时空中都改变了，需要重新引入定义。以下是几个新引入的必要概念。
58、概念化和模型化是紧密相连的，但有风格的不同。发展一套新的基本理论，要对领域内的现象和领域外的模型都有相当的了解。概念化，也叫概念化处理，是锚定域外模型后对域内现象重新审视并对原有理论重新做概念化处理，抽象剪裁要适当。这其实是基本理论研究中难的阶段。模型化，也叫模型化嵌装，是在概念化基础上做无缝对接，技术工艺要精湛。这是基本理论研究中讲究的阶段。跨学科研究经验经常提示我们，不同领域中核心的部分，往往是易沟通的。所以，无论是概念化还是模型化，直驱中枢要地，多有事半功倍的效果。
59、放假时也容易想太多，想起自己还在大城市蜗居，不免神伤。但你想想，第欧根尼住在一个木桶里都能觉得自己住的是一个全景通透豪宅，享受着阳光，其实能有一份值得奋斗的工作，能有一个歇息之处已经很让人满足了。脑补一下第欧根尼正给你打气：像狗一样活着的都是神！
60、此图可以在任何一本微观经济学教科书里看到。自马歇尔1926年出版《经济学原理》以来，微观经济学可以围绕三个概念展开：需求，供给与价格。注意，图中的需求曲线和供给曲线都是关于市场整体的，而不是关于任何市场参与者个体的。用统计学语言说，两条曲线都是均值曲线，抹去了市场参与者之间的个体差异。这种均值处理是典型的牛顿力学处理方式，理由是，在大数定律的假设下，个体差异被视为相互抵消了。个体差异，不仅表现在市场参与者的行为中，还应体现在每个个体参与者的心智世界和心理感受中。从认知科学的角度说，心智世界是以个体注册的，或者说，认知心理是以个体具身的。可以认为，这种内部空间是物理标志性的个体特征。将这个内部空间空心化，也就是将个体市场参与者质点化从而同质化，这正是牛顿力学的特征。
61、N.Griffin(eds),TheSelectedLettersofBertrandRussell,Volume2:ThePublicYears1914-1970(Routledge,2001).
62、要是他给自己理发，那么他就违反了自己的规定，因为按规定，他不应该为自己理发；要是他不给自己理发，他也违反了自己的规定，因为按规定，他一定得给自己不理发的人理发，所以他也得给自己理发。理发师犯难了：他不论怎么做都“自己打自己的耳光”。
63、(9)罗素和怀特海所强调的完备性从字面上讲，是涵盖范围很广阔这一意义上的完备性，但在涵盖范围之内，则如哥德尔之前几乎所有研究数学基础的其他人一样，默认了不存在无法证明的真命题这一意义上的完备性。这后一种完备性恰恰因为前一种完备性，即涵盖范围很广阔，而被哥德尔不完全性定理所颠覆。
64、罗素写道：“如我们所知，杉迪用了两年时来记录他生活中头两天的历史，然后他抱怨道，按照这速度他永远也写不完。但是我认为，如果他可以永远活下去，且坚持不懈地写下去，即使他的一生始终像开端那样充满了需要记录的内容，他的传记也不会遗漏任何部分。”
65、这个函数由两个公式组成。第一个公式是说，被激发粒子进入是门(捕捉器，正确答案或被预测的未来事件)，函数值为无穷大；被激发粒子进入否门(没捕捉到，题做错了或预测不准)，函数值为零。第二个公式以第一个公式为被积函数的不定积分，其值等于一个常数。这里，第二个公式告诉我们，无论粒子进入是门还是否门，这个粒子都已经被激发出来了。用哲学语言说，狄拉克函数的第一个公式可为其认识论支撑，而第二个公式为其本体论承诺。狄拉克函数几乎地刻画了“是/否”类观测，可是，它却不是一个数学上良定义的函数。
66、这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。
67、匹诺曹悖论不同于传统谎言悖论的地方在于，悖论本身没有做出语义上的预测，例如“我的句子是假的。”
68、B.Russell,IntroductiontoMathematicalPhilosophy(DoverPublications,Inc.,1993).
69、产生悖论的根本原因在于人们主观认识上的局限性与客观事物本身的辩证性发生矛盾,反映在数学悖论方面,则是一定的数学理论的局限性与客观事物的量的辩证性发生矛盾.
70、悖论和悖论解是隐含在同一命题或表面推理中的两个对立的结论，二者都可以证明自己是正确的。悖论的抽象公式是：如果事件a发生，则推导出非a，推导出非a。
71、如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。
72、从单纯的逻辑上来讲，荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论，哪怕推理过程无懈可击。
73、“悖论研究”应该成为大学教育的一门通识课程，充分发挥悖论研究广泛的社会文化功能。
74、有了这几个概念，就可以介绍著名的光锥，也即钱锥的模型了。对于一个给定的光源，因为光速快，可以先合理假设光走直线。从光源出发，可向下方做各向散射，形成下锥。这里你可以想象用自己的小臂向下划个圈即是。从同一个光源出发，向上做各向散射，就形成上锥。上下锥在光源对顶，就合成了所称的光锥。如此这般，将光源换成钱源，就得到钱锥模型(图3)。
