一、数学悖论
1、如何解释圣彼得堡悖论？知乎网
2、理发师的狼狈相是很好笑的，可是，数学家听了却笑不起来，因为他们自己也像那个爱吹牛的理发师一样，陷入了自相矛盾的尴尬境地。
3、同济版高等数学(下)视频汇总
4、现在，将(1)式两边乘以我们就得到：
5、除此之外，古今中外还有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考。解决悖论难题需要创造性的思维，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
6、不管上帝怎么笑，我们还要一如既往地思考
7、没想到三年之后，英国数学家、逻辑学家和哲学家——罗素，提出著名的理发师悖论，震惊了整个数学界：
8、从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义“堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一个模糊的“类”。这是连锁(Sorites)悖论中的一个例子，归功于古希腊人Eubulides，后来的怀疑论者不承认它是知识。“Soros”在希腊语里就是“堆”的意思。
9、本文来源：超级数学建模
10、三门问题，MontyHall问题
11、如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；
12、大家都知道除以0是被禁止的。事实上，在数学戒律的清单上，这一点高居榜首。不过，为什么不允许除以0呢？数学王国里的万事万物都整齐地各就各位，我们对数学中的秩序和美丽引以为傲。当某件可能破坏这种秩序的事情出现时，我们就直接作出规定以适应我们的需要。这恰恰就是面对除以0的情况时发生的事情。通过解释为什么要提出这些“规则”，大家会对于数学的本质产生一种更加深入的洞察。因此，让我们来为这条戒律赋予某种意义。
13、脑洞：无限二分16寸芝士乳酪蛋糕却不能吃的快感，你值得拥有。
14、三大学派都提出了修补数学基础的方案，由于各执己见，爆发了一场大论战。这场大论战对现代数学发展影响深远，还导致了许多新的数学分支的诞生。
15、概述：1是非零的自然数，2是小的质数，3是第一个奇质数，4是小的合数等等；如果你找不到这个数字有趣的特征，那它就是第一个不有趣的数字，这也很有趣。
16、{…}是自然数平方的数集。
17、数学美拾趣.易南轩.科学出版社
18、1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称:“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说的严格性已经达到了……”可是，好景不长。罗素构造了一个集合S:S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问:S是否属于S呢?根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S;反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。所已4不=44=3是有可能的。这或许对你有帮助。
19、缪不可言推荐的10本育儿书/图文
20、如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子落地也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。这就是令整个古希腊震惊一时的谷堆悖论。
1、也许你会认为，蚂蚁爬行的那点可怜的路程远远赶不上橡皮绳成万倍的不断拉长，只怕是离终点越来越远吧!但是千真万确，蚂蚁爬到了终点，奇怪吗？
2、同色马悖论(数学归纳法)
3、悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广义定义，所有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。
4、要“朗读”，不要“唱读”
5、举例说明易懂：3人住店，要了1间房，每人10块钱，共30块钱，第二天，老板对服务生“说只收他们25”。给了服务生5块钱找给3人，服务生贪心，藏了2块钱，对3人说“老板只收你们27块钱”于是3人各省了1块钱。现在算算账：3人共出27块钱+服务生藏了2块钱=29块钱，还有1块钱却不见了！
6、悖论的抽象公式就是如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
7、概述：一根箭是不可能移动的。飞行过程中的任何瞬间，它都有一个暂时的位置，由此可知一枝动的箭是所有不动的集合。
8、到了1734年，英国大主教贝克莱驳斥微积分理论(本质是反科学)，指出了著名的贝克莱悖论，该悖论把当时微积分中大缺陷暴露了出来：
9、这个悖论被抽象出来，就是集合论中的“自指悖论”。R是所有不包含自身的集合的集合，那么R是否包含R呢？如果包含，则应该不包含；如果不包含，则应该包含。那么到底哪里出了问题呢？是我们的逻辑学？还是集合论本身？
10、无限长的金属杆：理想模型带来的悖论.matrixC博客
11、既然是离散数学的悖论，那就按照离散数学书上的顺序给出3种悖论。集合论的悖论:A={x|x不属于A}A到底存在吗?推理的悖论:A问B:你说一句话，如果你说假话，我就枪杀你，你说真话我就吊死你。B:你会枪杀我逻辑合成的悖论:"囚徒困境"，也就是A=1B=1A^B=0
12、集合论是19世纪末发展起来的一种数学理论，它已迅速深入到数学的每一个角落，直至中学数学课本。它极大地改变了整个数学的面貌。正当数学家们刚刚把数学奠立在集合论的基础上时，罗素悖论出现了，它用无可辩驳的事实指出，谁赞成集合论，谁将变成一个“爱吹牛的理发师”，从而陷入自相矛盾的窘境。数学家们尴尬万分，如果继续承认集合论，那么，号称严密的数学，就会因为罗素悖论这样的怪物而不能自圆其说；如果不承认集合论，那么，许许多多重要的数学发明也就不复存在了。
13、问题在于，你往内表面灌油漆的速度比刷外表面灌得快。往外表面刷的时候，不管你刷多少，因为没有厚度，所以油漆的体积为0，就是说，你以0速度消耗油漆体积，以均匀速度刷表面面积。往里面灌的时候，你在有限时间内灌满有限体积，所以消耗速度是一个有限正数，所以你以正速度消耗体积，以无穷大速度刷面积。所以，你可以在外表面的附近再加一个表面，使得新的表面和外表面之间有一定的缝隙，这样就有非0的体积，而且，调整远处缝隙的大小，这个体积可以任意的小，这样往里灌油漆，也可以在有限时间灌满，从而刷上外表面。
14、△来源：数据与算法之美▼
15、上面的这种说法是不正确的。但要解释清楚，却又觉得很难。这种看似这样，其实那样的数学问题(命题)，数学史把它们称作“数学悖论”。什么是悖论？从数学理论的角度讲，即从一些貌似正确或看来可接受的约定出发，经过简明正确的推理，却得到自相矛盾的结论，这样的议论就称为悖论。悖论的起源几乎与数学史同步，却导致三次“数学基础危机”，使人们对数学产生怀疑，同时也从侧面促进了数学的发展。
16、脑洞：小学奥林匹克暗袋摸球概率题版。
17、第一个故事发生在一位调查员身上。这位调查员受托去A、B、C三所中学调查学生订阅《中学生数学》的情况，他很快统计出，A校男生订阅的比例比女生订阅的比例要大些，对B校和C校的调查也得出同样的结果。于是他拟写了一个简要报道，称由抽取的三所学校的调查数据看，中学生中男生订阅《中学生数学》的比例比女生大。后来，他又把三所学校的学生合起来作了一遍统计复核，匪夷所思的事情发生了，这时他得出的统计结果令他大吃一惊，原来订阅《中学生数学》的所有学生中，女生的比例比男生要大些，怎么会是这样呢?这就象在玩一个魔术，少的变多了，多的变少了。你能帮他找找原因吗?
18、对于有些涉及无限的古典悖论，如芝诺悖论中的“阿基里斯悖论和飞矢不动悖论，尽管可以看出其谬误(既：应该用微积分来处理“无限”)，但其逻辑推理方式在当时是基本被认可的，所以在当时是可以称为悖论。但是，微积分出现以后，可以看出芝诺悖论的推理中用有谬误的推理过程，应该归类于谬误。
19、关于运动的悖论有很悠久的历史，这里介绍的“蚂蚁与橡皮绳悖论”是一道让你的直觉经受考验的数学趣题。问题是这样的：一只蚂蚁沿着一条长100米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行。每过1秒钟，橡皮绳就拉长100米，比如10秒后，橡皮绳就伸长为1000米了。当然，这个问题是纯数学化的，既假定橡皮绳可任意拉长，并且拉伸是均匀的。
20、如何组织学生“课堂讨论”——“尝试反馈法”课改之教学反思|重点看文末
1、17世纪的几何悖论。意大利数学家托里拆利(EvangelistaTorricelli)将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈，得到了上面的小号状图形(注：上图只显示了一部分图形)。然后他得出：这个小号的表面积无穷大，可体积却是π。
2、如果不考虑收敛级数的概念，我们就会陷入以下困境。
3、悖论意指自相矛盾的命题，但是在一些数学悖论中，也指代某些数学命题，只是该命题与人们的常识相悖，比如分球悖论就是这样的。
4、脑洞：原来也有平胸不一定能为国家省布料的时候。
5、“饮酒悖论”由于雷蒙德·斯穆里安(RaymondSmullyan)的书而出名，这本书的名字就叫《这本书叫什么名字》(WhatIstheNameofthisBook?)。
6、一位美国数学家来到一个赌场，随便叫住两个赌客，要教给他们一种既简单又挣钱的赌法。方法是，两个人把身上的钱都掏出采，数一数，谁的钱少就可以赢得钱多的人的全部钱。赌徒甲想，如果我身上的钱比对方多，我就会输掉这些钱，但是，如果对方的钱比我多，我就会赢得多于我带的钱数的钱，所以我赢的肯定要比输的多。而我俩带的钱谁多谁少是随机的，可能性是一半对一半，因此这种赌法对我有利，值得一试。赌徒乙的想法与甲不谋而合。于是两个人都愉快地接受了这位数学家的建议。看来这真是一种生财有道的赌博。
7、悖论：指自相矛盾的命题，这个命题中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。(悖：混乱，相冲突；论：言论，言语。)
8、罗素悖论震撼了世界数学界，导致了一场涉及数学基础的危机。人们已经发现，在数学这座辉煌大厦的基础部分，存在着一条巨大的裂缝，如不加以修补，整座大厦随时都有倒塌的危险。
9、讲座旨在激发西浦同学数学学习兴趣，引导进行兴趣导向型研究学习。普及数学知识，拓展数学视野。
10、阿溪里斯是古希腊传说中善走的神，现在让他和乌龟赛跑。假定他的速度为乌龟的10倍。乌龟先出发，走了公里。阿溪里斯开始追赶它，当阿溪里斯走完这公里时，乌龟又向前走了公里；阿溪里斯再走完这公里时，乌龟又向前走了公里……阿溪里斯的速度再快，走过一段路总得花一段时间，乌龟速度再慢，在这一段时间里也总要再向前走一段路程。这样说来，阿溪里斯是永远追不上乌龟了。同学们，你认为这种说法正确吗？你能说出其中的理由吗？
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12、你能说出为什么这场考试无法进行吗？
13、芝诺(约公元前490～前425)。芝诺以其悖论闻名，他一生曾巧妙地构想出40多个悖论，在流传下来的悖论中以关于运动的四个“无限微妙、无限深邃”的悖论为著名。他提出这些悖论很可能是为他老师的哲学观点辩护。关老师总把“阿基里斯追龟悖论”挂在嘴边(小脚老太婆)，然而这四个悖论组合在一起有着奇妙的魅力。二分法悖论：任何一个物体要想由A点运动到B点，必须首先到达AB中点C，随后需要到达CB中点D，再随后要到达DB中点E。依此类推。这个二分过程可以无限地进行下去，这样的中点有无限多个。所以，该物体永远也到不了终点B。不仅如此，我们会得出运动是不可能发生的，或者说这种旅行连开始都有困难。因为在进行
14、克服分心与压力，才能获得长时间的平静与专注；改掉不健康的焦虑习惯，才能真正使内心强大。
15、冯·诺依曼解火车苍蝇题.彭翁成.个人博客.科学网.
16、世界上有记载的早的悖论，是公元前五世纪希腊哲学家芝诺提出的关于运动的著名悖论。在我国公元前三世纪的《庄子?天下篇》中，也记载了几条著名的悖论辨题。这些悖论的提出和解决都与数学有关。在数学史上震撼大的悖论是英国哲学家罗索于1902年提出的“集合论悖论”，它几乎动摇了整个数学大厦的基础，引发了所谓的“第三次数学危机”。这些严肃的论题在许多数学方法论著作、数学史书籍以及有关的读物中都有记载和讨论。
17、谬误悖论指其推理过程是有谬误的，但据此确立的命题不但似乎是荒谬的，而且确实是错误的，归类于谬误。
18、离散数学的悖论，按照离散数学书上的顺序给出3种悖论。集合论的悖论:A={x|x不属于A}A到底存在吗?推理的悖论:A问B:你说一句话，如果你说假话，我就枪杀你，你说真话我就吊死你。B:你会枪杀我逻辑合成的悖论:"囚徒困境"，也就是A=1B=1A^B=0
19、同样，这也是探究数学边界的一个良好资源。为什么不允许除以0？为什么根式的乘积并不总是等于乘积的根式？这只是众多悖论中的几个问题，揭示这些“滑稽”的结果很有乐趣，而且它们具有很高的研究价值。
20、实质条件的示意图如下：
【axxzhouaxxyyflongdd】四、数学悖论与数学危机的辩证关系
1、甲对乙说：“你下面要讲的是‘不’，对不对？请用‘是’或‘不’来回答！”
2、高等数学(同济版上下册)课件
3、现在给大家讲一个故事──当然这也是一个有趣的数学问题：阿溪里斯能追上乌龟吗？
4、不是所有……把所有集合分为2类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有：P={A∣A∈A}Q={A∣A￠A}(￠)问,Q∈P还是Q∈Q?若Q∈P,那么根据第一类集合的定义,必有Q∈Q,但是Q中任何集合都有A￠A的性质,因为Q∈Q,所以Q￠Q,引出矛盾。若Q∈Q,根据第一类集合的定义,必有Q∈P,而显然P∩Q=Φ,所以Q￠Q,还是矛盾。符合以上条件的悖论都可以称之为“罗素悖论”,但还有不是以上形式的……比如“双生子悖论”。
5、这个关于时间旅行的悖论源自罗伯特·海因莱因的短篇小说，近来又出现在诺兰导演的《星际穿越》中。
6、因此，既然且，那么就有。这一论证过程出了什么错？
7、数学悖论出现是因为数学知识体系不完备造成的，每一个悖论解决都是一次数学飞跃。
8、在17世纪，牛顿和莱布尼兹各自都独立创立了微积分，但是两人对微积分中“无穷小量”的定义不明确，导致了后来的第二次数学危机。
9、VOA数学是数学爱好者的聚集地，其中V代表代数学之父韦达、O代表几何学之父欧几里得、A代表近代统计学之父阿道夫.凯特勒。我们旨在传播数学文化，点亮校园生活，并努力为00后数学爱好者提供一个分享与交流平台！
10、把(2)式带入(3)式，就有，从而。
11、数学悖论出现是因为数学知识体系不完备造成的，每一个悖论解决都是一次数学飞跃。都会一门数学分支出现，所以在中学教育适当讲几个悖论，有助于激发学生兴趣。可以讲讲根号2悖论，理发师悖论，无穷悖论。这些悖论学生基本上可以理解。这样可以活跃课堂教学效果
12、如果我们仔细分析这段话，会发现存在自相矛盾，使得开会无法进行，你能看出问题所在吗？
13、数学悖论：http://baike.baidu.com/view/293html?wtp=tt
14、那么我们究竟是如何到达目的地的呢？二分法悖论只是空谷传音般放大了问题。若想妥善解决这个问题，还得靠物质、时间和空间是否无限可分等等这些20世纪的衍生理论。
15、悖论：bèilùn自相矛盾的命题：如果认为它是真的,则它是假的；如果认为它是假的,则它是真的.如说：“我现在说的是一句谎话.”如果认为它是真的,那么它就是一句谎话,是假的；如果认为它是假的,那么它就不是一句谎话,是真的.悖论长期被认为是一种无聊的诡辩,后来在严谨的数学理论中发现了悖论,才对悖论作了科学的研究,得出了有益的结果.
16、这个故事类似“自相矛盾”的故事。教徒是不可能回答出路人的问题的。如果回答“能”，说明石头厉害，上帝举不起来石头，但又与上帝无所不能矛盾；如果回答“不能”，也与上帝无所不能矛盾，教徒只能和卖矛和盾的人一样，“哑口无言”。
17、介绍有趣的数学悖论，普及数学知识
18、实际上，20世纪初期的数学家们，比那个爱吹牛的理发师更狼狈。理发师只要撤消原来的声明，厚起脸皮哈哈一笑，什么事情都没有了；数学家可没有他那样幸运，因为他们遇上了一个无法回避的数学悖论，如果撤消原来的“声明”，那么，现代数学中大部分有价值的知识，也都荡然无存了。
19、数学大家谈栏目丨专访数学研究专家沈明哲！
20、拥有迷人内容的标题显然是荒谬可笑的！不过从下面的范例中你会看到，情况也许并非如此。我们从一个很容易被接受的等式开始：接下去的每一行都可以很容易地用初等代数来说明。代数方面没有任何错误。
【axxzhouaxxyyflongdd】五、数学悖论论文
1、芝诺又一著名悖论，他认为时间的单位是瞬间。事实上，运动不会发生在任何特定时刻，并不意味着运动不会发生。战国时期的诡辩学代表人物惠施也曾说：“飞鸟之影，未尝动也。”
2、数学悖论：说谎者悖论、芝诺悖论、上帝悖论、硬币悖论、预想不到的考试的悖论等；科学悖论：阿基里斯悖论、二分法悖论、
3、大名鼎鼎的罗素悖论(也称理发师悖论)，直接导致了第三次数学危机的出现。
4、谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆；
5、常识和科学告诉我们：假如说一个论断是正确的，那么，无论作怎样的分析、推理，总不会得出错误的结论；反过来，也是一样。于是，早在两千多年前的古希腊，人们就发现了这样的矛盾：用公认的正确推理方法，证明了这样两个“定理”，承认其中任何一个正确，都将推证出另一个是错误的。甚至有这样的命题：如果承认它正确，就可以推出它是错误的；如果承认它不正确，又可以推出它是正确的。
6、马歇尔悖论就是马歇尔冲突。经济学家马歇尔经济理论中关于规模经济和垄断弊病之间的矛盾的观点。马歇尔认为：自由竞争会导致生产规模扩大，形成规模经济，提高产品的市场占有率，又不可避免地造成市场垄断，而垄断发展到一定程度又必然阻止竞争，扼杀企业活力，造成资源的不合理配置。因此社会面临一种难题：如何求得市场竞争和规模经济之间的有效、合理的均衡，获得大的生产效率。“马歇尔冲突”适用于收益递增(成本递减)的行业，如电信业、银行业。
7、孩子做数学题又慢又容易错？优化这7个细节有效！
8、关于第二次数学危机的解决，直到19世纪后，由众多数学家，比如波尔查、柯西、阿贝尔和康托尔等等，建立了更严密的数学定义后，才得到彻底解决。
9、有利于提高学生对现代数学所具有的美妙、多样，甚至幽默性质的鉴赏力。
10、规定一切集合的集合不是集合。
11、概述：如果忒修斯的船上的木头被逐渐替换，直到所有的木头都不是原来的木头，这艘船还是原来的那艘船吗？
12、你所有的感受都是有道理的。——《原生家庭——如何修补自己的性格缺陷》
13、有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？”
14、生日悖论(BirthdayParadox)是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于509^计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。
15、这个数学悖论也是罗素提出来的。1902年，罗素从已被人们公认为数学基础理论的集合论中，按照数学家们通用的逻辑方法，“严格”地构造出这个数学悖论。把它通俗化就是理发师悖论。
16、在除以那一步中，我们实际上是在除以0，这是因为，所以。这终使我们得出了一个荒谬的结果，从而令我们别无选择，只能禁止除以0。
17、十大中国数学之，你知道几个？
18、罗素悖论，号称数学大厦的裂缝。现在都没解决，只是绕开了。其他的什么白马黑马悖论，理发师悖论，其实都是罗素悖论的另一种说法而已。
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20、悖论/数学悖论.搜狗百科
